Home > 科学 > 小粋で素敵な数学の問題

小粋で素敵な数学の問題

  • 2008-03-15 (土) 23:50
  • 科学

こちらで小粋で素敵な数学の問題が紹介されていた。1995年の京大後期文系の問題だそうだ。
 
【設問の概要(かなり要約)】
自然数nの関数f(n)、g(n)をf(n) = n%7、g(n) = 3f(z)と定義する。
z=1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n+7^n
(1) 全ての自然数nに対してf(n^7)=f(n) を示せ。
(2) 好きな自然数nをひとつ決めてg(n)を求めよ。そのg(n)の値をこの設問の得点とする。
 
なお、%は余り、^は乗(指数)です。

これは、良問ですね。
数学がわかっている人にはとても簡単だけど、わからん人にはわからなさそう。

以下で解答してみる。

【解答編】
《基本式》
n=7a+b m=7c+d とする。(a,cは正の整数、b,dは0〜6の整数)
f(n)=f(7a+b)=b
f(m)=f(7c+d)=d
f(n*m)=f(b*d)
つまりf(n*m)は、n,mそれぞれの余り b,d の積(b*d)を7で割った余りと等しい

《基本式を使って、1〜7乗の余りについて考える》
f(1^n) 1,1,1,1,1,1,1
f(2^n) 2,4,1,2,4,1,2
f(3^n) 3,2,6,4,5,1,3
f(4^n) 4,2,1,4,2,1,4
f(5^n) 5,4,6,2,3,1,5
f(6^n) 6,1,6,1,6,1,6
f(7^n) 0,0,0,0,0,0,0

これで、(1)、(2)の両方の答えが出る。
(1) は、↑を証明問題っぽくもっともらしくかけばよし。
(2) は、g(6)=18 が最高得点。nは7で割って6余る数ならなんでもよし。
その他の数字を選ぶと0点となる。

う〜ん、こいつは小粋だ。
出題のしかたもいいし、数学力をはかるという意味でも素晴らしい。
無意味に難しくないところも好感が持てる。

ってことで、ちょっと感動したので、話題にしてみました。

Comments:0

Comment Form
Remember personal info

Trackbacks:0

Trackback URL for this entry
http://yonyon-blog.net/youmei/2008/03/15/%e5%b0%8f%e7%b2%8b%e3%81%a7%e7%b4%a0%e6%95%b5%e3%81%aa%e6%95%b0%e5%ad%a6%e3%81%ae%e5%95%8f%e9%a1%8c/trackback/
Listed below are links to weblogs that reference
小粋で素敵な数学の問題 from サイト管理者のよんよん日記

Home > 科学 > 小粋で素敵な数学の問題

Search
Feeds
Meta

Return to page top

QR Code Business Card